Site Loader

Merhaba arkadaşlar, bu hafta merkezi limit teoremi ile pythonearth.com da tekrardan birlikteyiz. Merkezi limit teoreminin kısa bir tarihçesinden bahsetmek istiyorum, daha sonra anlaşılır olmaya çalışarak bilgilerimi sizinle paylaşacağım. İstatistik için öğrenmek istediğiniz veya incelemek istediğiniz bir konu için İstatistik eğitim serimize buradan ulaşabilirsiniz.

 

Kısa Bir Tarihçe

Hollandalı matematikçi Tijms’e göre;

Merkezi limit teoreminin tarihi gelişmesi çok enteresandır. Bu teoremin ilk şekli Fransız matematikçi Abraham de Moivre tarafından 1733’te yayınlanarak gayet dikkati çeken bir yazıda bulunmakta ve bu yazıda bir yansız madeni paranın yazı-tura atış sonuçların da kaç defa yazı gelme sayısının dağılımının bir normal dağılım ile yaklaşık olarak açıklanabileceğini ortaya çıkartmıştır. Bu gelişme zamanı için çok zor görünüp nerdeyse unutulmuştur. Bu unutulmuş konu tanınmış Fransız matematikçisi Pierre Simon Laplace’ın 1812’de yayınladığı çok tanınmış eseri Thoerie Analytique des Probabilites (Olasılıklar İçin Analitik Kuram)’da yeniden ortaya çıkarılmıştır; Laplace, De Moivre’in buluşunu daha da geliştirerek binom dağılımlarının yaklaşık olarak normal dağılım ile ifade edilip hesaplanabileceği sonucunu ortaya atmıştır. Ancak De Moivre gibi Laplace gelişmeleri de yaşadığı çağda çok az dikkati çekmiştir. Sonunda 19. yüzyılın içinde merkezi limit teoreminin önemi anlaşılmış ve 1901 Rus matematikçisi Aleksandr Lyapunov bu teoremi genel bir şekilde açıklamış ve matematik olarak nasıl ortaya çıktığını çok kesin bir şekilde ispatlamıştır. Bugün merkezi limit teoremi olasılık kuramının en önemli ögesi, gayriresmî kralı, olduğu kabul edilmektedir.

 

Merkezi Limit Teoremi

Merkezi limit teoremi büyük bir sayıda olan bağımsız ve aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin (eğer sonlu varyans değerleri bulunuyorsa) aritmetik ortalamasının, yaklaşık olarak normal dağılım göstereceğini ifade eden bir teoremdir. Matematiksel bir ifadeyle ise olasılık kuramı içinde bulunan bir zayıf yakınsama sonucu setidir. Pratik gerçekte birçok anakütle, sonlu varyans gösteren dağılımlar ortaya çıkardıkları için bu teorem normal olasılık dağılımının önemini ortaya çıkartır.

Merkezi limit teoreminin temel prensibi, uygun büyüklükte seçilen örneklemin seçildiği popülasyona benzeyeceğidir. Seçilen örneklem ile ilgili standart sapma ve ortalama verileri mevcutsa örneklemi seçtiğimiz popülasyonla ilgili kesin ve doğru çıkarımlarda bulunabileceğimizi söyleyebiliriz.

Merkezi limit teoremi bize bir örneklem ortalamasının popülasyon ortalamasından belirli bir mesafede olma olasılığını söyler. Bir örneklem ortalamasının popülasyon ortalamasından iki standart hata uzakta olması düşük bir ihtimaldir bir diğer şekilde üç standart hata ve daha fazla uzakta olması ise daha da düşük bir ihtimaldir diyebiliriz.

 

Klasik Merkezi Limit Teoremi

; ortalaması varyansı olan ve birbirinden farklı dağılımlara uyan n adet bağımsız şans değişkeni olsun. Bu şans değişkenlerinin toplamını ortalamasını ile gösterelim. n büyüdükçe, aşağıda verilen z değişkeni standart normal dağılışa yaklaşmaktadır.

Teorem: : Normal dağılışa sahip bir popülasyondan çekilen örneklerin ortalamaları, örnek büyüklüğü dikkate alınmaksızın, normal dağılışa sahiptir.

 

Teorem (Merkezi Limit Teoremi): Örnek büyüklüğü artışı ile herhangi bir dağılıştan çekilen
örneklerin ortalamalarının normal dağılışa yaklaşır.

 

Teorem: Eğer, ortalaması standart sapması olan bir dağılıştan n hacimli şans örnekleri çekilir ise
bu örneklerin aritmetik ortalamaları; ortalaması ve standart sapması olan yaklaşık normal
dağılış gösterir. Bu yaklaşım n büyüdükçe daha doğru olur. Başka bir ifadeyle, tekrar tekrar örnek
alındığında eğer n yeteri kadar büyükse, gözlemlerin toplamı da yani, ortalaması ve standart
sapması olan normal dağılış gösterir.

Daha açık ve anlaşılır bir şekilde açıklayacak olursak;

Ortalama =ve standart sapma =olan herhangi bir dağılım türüne sahip bir popülasyondan büyüklüğünde bir örneklem alındığında,

 

 

örneklem ortalaması normal dağılıma yakınsar.

 

 

Eğer kitlenin kendisi ortalama = ve standart sapma = ile normal dağılım gösteriyorsa

 

 

örneklem ortalaması herhangi bir n örneklem büyüklüğü ile normal dağılım gösterir.

 

 

Her iki durumda da, örneklem ortalamasının örneklem dağılımı, kitle ortalamasına eşit bir ortalamaya sahiptir.

 

  —-> örneklem ortalamasının ortalaması

 

Örneklem ortalamasının örneklem dağılımı, n’nin karekökü ile bölünen kitle standart sapmasına eşit bir standart sapmaya sahiptir.

 

 

Örnek: Tamamen büyümüş olan manolya çalılıklarının yükseklikleri ortalama 8 ve 0.7 standart sapmaya sahiptir. 38 çalı popülasyondan rasgele seçilir ve her örneklemin ortalaması belirlenir. Örnekleme dağılımının ortalamasının standart hatasını ve ortalamasını bulun.

Çözüm: 

Örnekleme dağılımının ortalaması 8 ve örnekleme dağılımının standart hatası 0.11′ dir. Merkezi Limit Teoreminden,
örneklem büyüklüğü 30’dan büyük olduğu için örneklem dağılımı normal dağılıma yaklaşılabilir.

 

İstatistik eğitim serisinin Merkezi Limit Teoremi yazısının sonuna geldik. Eksik veya yanlış gördüğünüz yerler için lütfen iletişime geçin. Bir sonraki yazıda görüşmek üzere. Hepiniz sağlıkla kalın 🙂

Post Author: Emel Bulut

Uludağ Üniversitesi - ekonometri

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir