Site Loader

Merhaba arkadaşlar, bu hafta pythonearth.com İstatistik eğitim serisinde Olasılık Dağılımları yazısı ile birlikteyiz. Bu yazıda Olasılık Dağılımları; Bernoulli Dağılımı, Poisson Dağılımı, Binom Dağılımı ve Normal dağılım konularını ele aldım. Diğer istatistik eğitim serimizde olan konulara göz atmanızı öneririm 🙂

Bir olasılık dağılımı bir rassal olayın ortaya çıkabilmesi için değerleri ve olasılıkları tanımlar. Değerler olay için mümkün olan tüm sonuçları kapsamalıdır ve olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır. Rassal değişkenin olasılık fonksiyonunun bulunması araştırıcı için ilk basamaktır.

Aynı özelliklere sahip rassal değişkenler için genel kalıplar oluşturulmuştur ve benzer türdeki rassal değişkenlere uygulanmak amacıyla da bu kalıplar genelleştirilmiştir. Olasılık teorisinde, belirli özelliklerin içinde yer aldığı bu kalıplara, rassal değişken kesikli ise olasılık fonksiyonları denir ve p(x) ile gösterilir. Buna karşılık ise rassal değişken sürekli ise, olasılık yoğunluk fonksiyonu denir ve f(x) şeklinde simgelenir. Rassal değişken ister kesikli ister sürekli olsun, bu genel kalıplar kurumsal dağılımlar olarak bilinir.

Kısa bir bilgiden sonra dağılımlara geçelim ve ilk olarak Bernoulli Dağılımı ile başlayalım.

 

Bernoulli Dağılımı

Bernoulli dağılımı bir rassal deney yapıldığında yalnızca iyi-kötü , olumlu-olumsuz, başarılı- başarısız gibi sadece iki sonuç elde edebildiğimizde kullandığımız bir dağılımdır.

Bernoulli dağılımında iki sonuç olduğuna göre, ilgilenilen sonuç elde edildiğinde bu sonuca başarı diyelim ve x=1 ile gösterelim. Diğer elde ettiğimiz sonuca ise başarısız diyelim ve x=0 şeklinde ifade edelim. Bu durumda, X rassal değişkenine Bernoulli Değişkeni denir.  Bu deneyin başarılı sonuçlanma olasılığı p ise, X rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu şöyledir.

Bu dağılıma Bernoulli dağılımı ve X’e de Bernoulli değişkeni adı verilir. Bernoulli dağılımının tek bir parametresi vardır; o da p dir.

Bernoulli dağılımının beklenen değer ve varyansı ise aşağıdaki gibidir:

 

Örnek: Bir otomobil sürücüsünün yarışı kazanma olasılığı 0,7 ve kazanmama olasılığı 0,3′ tür. Bu otomobil yarışçısı için olasılık fonksiyonunu yazıp, beklenen değer ve varyansını bulunuz.

Çözüm:  X rassal değişkeni sürücünün yarışı kazandığı zaman 1 değerini, kazanmadığı zaman 0 değerini alan bir Bernoulli değişkenidir. O zaman olasılık fonksiyonu,

bulunur.

ve

elde edilir. Benzer şekilde;

 

Binom Dağılımı

Bernoulli dağılımında deney bir kez yapılıyor ve olumlu veya başarılı sonuçla ilgileniliyordu.  Eğer deney bir defa değil, n defa peşpeşe birbirinden bağımsız olmak üzere tekrarlandığında yine olumlu veya başarılı sonuçla ilgileniliyorsa, Bernoulli dağılımının genel hali ortaya çıkar ve bu dağılıma Binom dağılımı denir.

Binom dağılımının kullanım alanı oldukça geniştir. Binom dağılımından yararlanmak isteniyorsa aşağıdaki koşulların sağlanması gerekir.

  • Rasssal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlanmalıdır.
  • Her deneyin olumlu- olumsuz, evet-hayır, beyaz- beyaz değil gibi iki olanaklı sonucu olmalıdır.
  • Bir deneyde arzu edilen sonuç elde etme olasılığı p ve arzu edilmeyen sonuç elde etme olasılığı olan 1- p = q , bir deneyden ötekine değişmemelidir. Bir başka ifade ile p ve q, n deney için sabit olmalıdır.
  • Her deney birbirinden bağımsız olmalıdır. Yani, bir deneyin sonucu, diğer deneylerin sonuçlarının üzerinde etkili olmamalıdır.

Herhangi bir rassal değişkenin  bu koşulları sağlaması zordur.  Böyle durumlarda, anakütle hacmi arttırılarak  veya anakütle hacmi küçükse, bağımsızlık koşulunu sağlamaya çalışarak bu zorlukların aşılması yoluna gidilir. Eğer deney, belli bir anakütleden birim çekme veya seçme işlemine dayanıyorsa, çekme veya seçme işleminin iadeli olarak yapılması araştırıcı  için yeterli olmaktadır.

Binom dağılımı kesikli bir olasılık dağılımıdır. X rastgele değişkeni binom dağılımına sahip olduğunda ile gösterilir. Binom dağılımın olasılık fonksiyonu,

şeklinde gösterilir.

Binom dağılımın beklenen değer ve varyansı aşağıdaki gibidir:

 

Örnek: Bir kutuda bulunan 10 tabletten 5 tanesi aspirindir. Bu kutudan yerine koyarak 3 tablet çekildiğinde 2 tanesinin aspirin olması olasılığı nedir?

 Çözüm:  X= Çekilen tabletin aspirin olması

 

Poisson Dağılımı

Araştırmacıların en çok kullandıkları olasılık dağılımlarından birisi de Poisson dağılımıdır. Poisson dağılımına küçük olasılıklar dağılımı da denir. Belli ve çok dar bir zaman aralığında az rastlanan olaylar bu tür dağılım gösterirler. Örneğin, Boğaziçi Köprüsü’nde meydana gelen günlük kazaların sayısı, bir havaalanından her saat kalkan veya inen uçakların sayısı vb. gibi.

Poisson dağılımında, zaman öyle küçük parçalara bölünür ki, bu küçük zaman parçalarında birden fazla olayın gerçekleşmesi istenmez. Başka bir ifade ile, belirlenen o dar zaman dilimi içerisinde olay ya gerçekleşir ya da gerçeklemez. Bu nedenden dolayı, binom dağılımı n tane deneydeki başarı sayısı ile ilgilenirken Poisson dağılımı da belirli bir aralıktaki ilgilenilen sonucun sayısı ile uğraşır.

Araştırıcının Poisson dağılımını kullanabilmesi için aşağıdaki koşulların gerçekleştiğini görmesi gerekir.

  1.    İki ayrık zaman aralığında ( ya da uzayda) ortaya çıkan olaylar birbirinden bağımsızdır.
  2.    Tanımlanan aralıkta ( ya da uzayda) ilgilenilen olayın ortaya çıkma olasılığı sabit olup, değişmemektedir.

X  rassal değişkeni Poisson dağılımına sahipse, bu değişkenin olasılık fonksiyonu aşağıdaki
gibidir:

gerçekleşen ortalama olay sayısı olup dir.

Poisson dağılımının beklenen değer ve varyansı aşağıdaki gibidir.

,

Örnek: Bir ülkedeki her 100000 ölüm vakasında ortalama 3 tanesi gıda
zehirlenmesinden ortaya çıkmaktadır. Belirli bir zaman dilimindeki 200000 ölüm vakasında
gıda zehirlenmesinden dolayı,

a) Sıfır ölüm vakasına
b) 6 ölüm vakasına
c) 6,7 ya da 8 ölüm vakasına,
rastlama olasılıklarını hesaplayınız.

Çözüm:  n= 100000  ,  = 3

3=100000p  -> p= 0.00003

n=200000,    = 200000(0.00003) = 6

X: gıda zehirlenmesinden ölen kişi sayısı

 

Normal Dağılım

Normal dağılım, gerek kendi özelliğinden dolayı gerekse teoremler yardımıyla uygulamada geniş alanlar yaratır. Bazı rassal değişkenlerin dağılımlarını – ister kesikli ister sürekli olsun- normal dağılıma yaklaştırma isteği ağırlık kazanır. Normal dağılım, başlıca 3 alanda yoğun olarak kullanılmaktadır.

  1.    Uygulamada ele alınan birçok değişken normale benzer bir dağılım gösterir. Örneğin, ölçme hataları, bir fabrikada üretilen vidaların uzunlukları, belli bir sürede uçakların almış olduğu yol vb… gibi. Aslında, bu tür rassal değişkenlerin dağılımları tam olarak bir normal dağılıma uymasa da yaklaştıkları görülür. Fakat, uygulamada çok sayıda birbirinden bağımsız olarak ortaya çıkan rassal değişkenlerin bir normal dağılım gösterdikleri kabul edilir.
  2. Normal dağılımın, istatistik tümevarım ve örnekleme teorisinde önemli bir ağırlığı vardır. Çünkü, örneklemden elde edilen aritmetik ortalama, toplam gibi bazı niteleyici değerlerin örnekleme dağılımları, anakütle normal dağılmasa bile, örneklem hacmi n yeterince büyük seçildiğinde (n>30) normale yaklaşır.
  3. Örnekleme dağılımları olan Ki-Kare, t ve F dağılımları, Normal Dağılımdan türetilmiştir. Örneklem hacmi n arttıkça, normal dağılım Binom ve Poisson dağılımlarının çok iyi bir yaklaşımını oluşturur.

Normal dağılımın genel görünüşü bir çana benzediğinden bu grafiğe çan eğrisi de denir.

 

Normal dağılım,

  • Aritmetik ortalama etrafında simetriktir. Aynı zamanda aritmetik ortalama Mod ve Medyana eşittir. (Merkezi Eğilim Ölçüleri ).
  • Normal dağılımın aritmetik ortalaması, Modu ve Medyanı birbirine eşittir.

Normal dağılımın standardize edilmiş hali aşağıdaki gibidir:

Normal dağılımın özelliklerinden kısaca bahsettikten sonra bir örnek ile pekiştirelim.

Örnek: Normal dağılan bir prosesin ortalamasının µ=20 cm ve standart sapmasının da σ=2 cm olduğu bilindiğine göre, prosesten elde edilen ürünlerin 19-23 cm arasında olması olasılığını hesaplayalım.

Çözüm:

 

İstatistik Eğitim Serisinin Olasılık Dağılımları yazısının sonuna geldik. Eksik veya yanlış gördüğünüz yerler için lütfen iletişime geçin. Bir sonraki yazıda görüşmek üzere 🙂

 

Post Author: Emel Bulut

Uludağ Üniversitesi - ekonometri

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir