Site Loader

Merhaba arkadaşlar, pythonearth.com İstatistik eğitim serisinde olasılık konusunu ele alacağız. İstatistiğin temel araçlarından biri olasılıktır. 17. yy’de şans oyunları ile başlamıştır. Olasılık konusunu; örneklem uzayı, olasılık hesabı, olasılık fonksiyonu, koşullu olasılık ve bağımsızlık başlıkları altında anlatacağım. Keyifli okumalar 🙂

OLASILIK

Olasılık, bir şeyin olmasının veya olmamasının matematiksel değeri veya olabilirlik yüzdesi, değeridir. Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında olabilir ve bir olayın olasılığı (A olayının olasılığı diyelim) P(A) şeklinde yazılır. Hangi olayın olasılığını yazıyorsanız parantez içine o olay yazılır. Hiçbir olayın olasılığı 1’den büyük olamaz. Olasılıkla açıklanan olayların analizine istatistik denir.

ÖRNEKLEM UZAYI

Bu dört kelimeye dayanarak olasılık kavramı açıklanmaya çalışılmıştır; deney, örneklem sonucu, örneklem uzayı ve olaydır.
Deney, teorik olarak belirli koşullar altında sonsuz defa tekrarlanabilen, her tekrarında farklı sonuçlar elde edilebilen ve olası sonuçların çok iyi tanımlandığı bir küme gibi süreçten oluşur. Örneğin, bir çift zarın atılması bir deneydir. Bir deneyin potansiyel hesaplamalarından her biri bir örneklem sonucu olarak bilinir ve “s” ile gösterilir. Bütün örneklem sonuçlarının içinde bulunduğu kümeye örneklem uzayı denir ve “S” ile gösterilir. Deneyin sonuçlarından her birine olay denir.

 

Örnek
Bir paranın üç kez atıldığı varsayılsın
a) Örneklem uzayını belirleyiniz
b) A olayı, yazıların turalardan daha fazla sayıda olduğu deneyleri göstersin, A olayını yazınız.

Çözüm:
a) Böyle bir deneyde sekiz tane farklı sonuç vardır ve örneklem uzayı şöyledir:
S={YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT}
Örneklem uzayındaki sekiz örneklem sonucundan başka bir örneklem sonucu yoktur.
b) Örneklem uzayına bakıldığında, yazıların turalardan daha fazla olduğu örneklem sonucunun dört tane olduğu açıkça gözükmektedir. Yani A olayı,
A={YYY, YYT, YTY, TYY}

 

S örneklem uzayı her zaman sonuçların birisiyle değil birkaç tanesiyle de ilgilenebilir. Birden fazla olayla ilgilenildiğinde küme, kullanım açısından büyü yararlar sağlamaktadır. Küme, birbirinden farklı soyut ya da somut varlıkların oluşturduğu gruba (listeye) denir. Kümeler konusunu birazcık hatırlayalım.

 

Kümelerin Birleşimi ve Kesişimi

A ve B aynı örneklem uzayı S üzerinde tanımlanmış herhangi bir olay olsun. O zaman;
a) A ∪ B olarak yazılan A ve B olaylarının birleşimi, bu olayın sonuçları A ve B olaylarının tüm elemanlarından oluşur. Her olay yalnızca bir kez yazılır.
b) A ∩ B olarak yazılan A ve B olaylarının kesişimi, bu olayın sonuçları A ve B olaylarında ortak olarak bulunan elemanlardan oluşur.

Örnek
Bir deste oyun kâğıdından tek bir kart çekilsin. A olayı yedili, B olayı da karo çekilme olayını göstersin. A ∩ B ve A ∪ B’ yi bulunuz.

Çözüm:
A ve B olaylarını aşağıdaki biçimde gösterebiliriz.
A={Sinek 7, Maça 7, Kupa 7, Karo 7}
B={Karo 1, Karo 2, Karo 3, Karo 4, Karo 5, Karo 6, Karo 7, Karo 8, Karo 9, Karo Vale, Karo Kız, Karo Papaz}
O zaman
A ∩ B ={Karo 7}
A ∪ B={Karo 1, Karo 2, Karo 3, Karo 4, Karo 5, Karo 6, Karo 7, Karo 8, Karo 9, Karo Vale, Karo Kız, Karo Papaz, Sinek 7, Maça 7, Kupa 7} olur.

Ayrık Küme

Aynı örneklem uzayında tanımlanmış A ve B olaylarının ayrık olaylar olabilmesi için hiçbir ortak sonuca sahip olmamaları gerekir. Yani, Ø boş küme olmak üzere A ∩ B = Ø dir. Örneğin; A={1,2,3} B={5,8,9} A ve B kümelerinin ortak elemanı olmadığından ayrık kümelerdir. A ∩ B = Ø

Tümleyen Küme

A bir örneklem uzayında tanımlanmış herhangi bir olay olsun. A’nın tümleyeni, A olayını içeren sonuçlar hariç S’deki bütün sonuçları içeren bir olaydır ve A′ olarak gösterilir.
Aşağıdaki şekilde olduğu gibi S örneklem uzayı içerisinde bir A olayı veriliyor. A olayı S örneklem uzayının bir alt olayıdır.

 

Karmaşık olayların anlaşılmasında kolaylık sağlayan grafiksel şekil vardır ve buna venn diagramı denir. Aşağıda kesişim(a), birleşim(b), tümleme(c), ve ayrık(d) olan iki kümenin venn şemaları vardır.

 

 

 

OLASILIK HESABI

Burada olasılık çeşitlerini ve olasılık teorilerini anlatacağım. Olasılık klasik olasılık(teorik olasılık), deneysel olasılık ve çağdaş olasılık(öznel olasılık) olmak üzere üçe ayrılmıştır.

Klasik Olasılık (Teorik Olasılık)

Bir A olayı toplam n tane durumdan m tanesiyle gerçekleşiyorsa o zaman A olayının olasılığı P(A)=m/n (m=istenen olay n=tüm olay). Kısaca istenen durumların sayısını tespit edip tüm duruma böleriz. En bilindik örneklerle hatırlayalım.

Örnek
Hilesiz bir zar atıldığında üst yüzeye 5 gelme olasılığını hesaplayınız.

Çözüm:
Örneklem uzayı S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
B olayı B={5}
Klasik olasılık hesabı, istenen olay / tüm olay. Bu durumda istenen olay üst yüzeyin 5 gelmesi bir tane 5 olduğu için=1 tüm olay(örneklem uzayının eleman sayısı)= 6 cevap P(B)=1/6′ dır.

 

Örnek
Bir torbada eş büyüklükte 4 mavi, 6 sarı ve 9 yeşil bilye vardır. Bu torbadan rastgele çekilen bir bilyenin sarı renkli olma olasılığını hesaplayınız.

Çözüm:
Örneklem uzayının eleman sayısı= 4+6+9=19
P(S)=19
Sarı renkli bilye sayısı=6
Sarı renkli bilge gelme olayına A olayı diyelim. Bu durumda cevap P(A)= 6/19 dur.

 

Deneysel Olasılık

Deney yaparak hesaplanan olasılık değerine deneysel olasılık denir. Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık değeri, teorik olasılık değerine yaklaşır.

Örnek
Hileli bir zar 20 kez atıldığında 3 kez 1, 2 kez 2, 3 kez 3, 2 kez 4, 3 kez 5 ve 7 kez 6 geliyor. Buna göre bu zar atıldığında 5 gelme olasılığını hesaplayınız.

Çözüm:
Örneklem uzayı S={1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6}
Örneklem uzayı eleman sayısı P(S)=20
5 gelme olasılığına B olayı dersek ve üç tane 5 olduğu için istenen olay 3,sonuç P(B)=3/20

Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık değeri, teorik olasılık değerine yaklaşır demiştik. Yani zarı 20 kez atan kişi mi yoksa 50 kez atan kişi mi teorik olasılığa en yakın sonucu bulur? Tabi ki 50 kez atan kişi.

 

Çağdaş Olasılık (Öznel Olasılık)

         Sonucu kişiye göre değiştiği için çağdaş olasılık (öznel olasılık) denir. Mesela bugün yağmur yağma olasılığı bana göre %40 dır, sana göre %50 dir.
Çağdaş olasılık ile ilgili aksiyomlar( kanıta gerek duymadan doğru kabul edilen önermeler);
Aksiyom 1: A, S örneklem uzayında tanımlanmış herhangi bir olay olsun. P(A)≥0
Aksiyom 2: P(S)=1
Aksiyom 3: A ve B, S örneklem uzayı üzerinde tanımlanmış iki ayrık olay olsun. O zaman
 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)

Örneklem uzayı sonsuz sayıda elemana sahipse, dördüncü aksiyoma ihtiyaç vardır.
Aksiyom 4: A1, A2,…, olayları S örneklem uzayında tanımlanmış olsun,

    Her i≠j için Ai ∩ Aj = Ø ise, o zaman

                  

 

Çağdaş olasılık tanımına bağlı olarak aşağıdaki teoremlere (kanıtlanması gereken önermeler) ulaşılır.
Teorem 1.1. P(A’)=1-P(A)
Örneklem uzayı 1 kabul edildiğinden [P(S)=1], örneklem uzayından A olayını çıkarırsak A olayının tümleyenini(A’) bulabiliriz.

Teorem 1.2. P(Ø)=0

Örneklem uzayının tümleyeni boş küme ise örneklem uzayı sıfırdır.

Teorem 1.3. Eğer A ⊂ B ise, o zaman P(A) ≤ P(B) 

Eğer A, B’nin alt kümesi ise A olayı B olayından küçük veya eşittir.

Teorem 1.4. Herhangi bir A olayı için P(A) ≤ 1 

A olayı örneklem uzayının (S) alt kümesi olduğu için (A ⊂ S) ve örneklem uzayı 1 e eşit olduğundan [P(S)=1], A olayı 1’ den küçük veya eşittir.

Teorem 1.5. P(A ∪ B)= P(A)+P(B)-P(A ∩ B)

A birleşim B için A olayıyla B olayını toplamamız lazım fakat böyle olunca kesişimlerini iki defa toplamaya katmış oluyoruz o yüzden bir tane kesişimi toplamlarından çıkarıyoruz.

Teorem 1.6. A, B ve C olayları aynı örneklem uzayı S’de tanımlanmış olsun üç olayı ise, o zaman üç olayın birleşimi aşağıdaki gibi yazılır. Mantığı yukarıdaki teoremle aynıdır.

  P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P (B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

 

Örnek
Bir iş yerinde çalışan, 300 kişiden 200’ü evli, 100’ü bekârdır. Evli olanların 150’si, bekâr olanlarında 80’i üniversite, diğerleri ise ilk, orta ve lise mezunudur. Bu işyerinden rassal olarak seçilen çalışanın,
a)Evli ve üniversite mezunu olması,
b)Evli veya üniversite mezunu olması olasılıklarını bulunuz.

Çözüm:
Olayları aşağıdaki gibi tanımlayalım
A:Seçilen kişinin evli olması
B:Seçilen kişinin bekâr olması
C:Seçilen kişinin üniversite mezunu olması
Bir tabloda veriler şu şekilde gösterilebilir:

 

 

OLASILIK FONKSİYONU

Örneklem uzayının yapısına bağlı olarak iki tip olasılık fonksiyonu vardır. Elimizde sonuçların sayılabilecek sayıda bir örneklem uzayı var ise ona kesikli olasılık fonksiyonu veya olasılık fonksiyonu denir. Elimizde sonuçların sayılamayacak ya da sonsuz sayıda bir örneklem uzayı var ise ona sürekli olasılık fonksiyonu veya olasılık yoğunluk fonksiyonu denir.

Olasılık fonksiyonlarında toplam işareti (∑) kullanılır. Olasılık yoğunluk fonksiyonunda integral işareti (∫) kullanılır.

 

Kesikli Olasılık Fonksiyonu

Verilen bir deney için örneklem uzayının belli veya sayılabilir olduğunda kesikli olasılık fonksiyonu kullanılır. P’nin bir olasılık fonksiyonu olabilmesi için aşağıdaki koşulları sağlaması gerekir;

a) 0 ≤ P(s) Her s ∈ S için

Herhangi bir A olayının olasılığı, A olayındaki sonuçlara bağlı olan olasılıkların toplamıdır.

Örnek
Bir zar atıldığında, çift sayının gelme olasılığını bulunuz.

Çözüm:
Örneklem uzayı S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
A, zarın çift gelme olayını göstersin A={2, 4, 6}
 bulunur.

 

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

S sonsuz sayıda sonuç içersin. Ayrıca f, S üzerinde belirlenmiş gerçek değer fonksiyonu olsun. O zaman f’in olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için aşağıdaki koşulları sağlaması gerekir;
a) 0 ≤ f(x) Her x ∈ S için
b)

 

Örnek
Belli bir tipteki floresan ampullerin dayanma süresi saat olarak X olsun. X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu,

olarak veriliyor. k değerini bulunuz.

Çözüm:
F(x) bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğuna göre tanımlı olduğu aralıktaki integral değeri toplam olasılık olan bir değerine eşittir. Yani,

Bu integral işlemini çözdüğümüz de k değerini “7031250” olarak buluruz.

Not: Burada şuan anlamamız gereken şey, kesikli olasılık fonksiyonu örneklem uzayında noktalarla ilgili olasılıklarla ilgilenirken, olasılık yoğunluk fonksiyonu örneklem uzayı aralıklarla ilgili olasılıklardan bahseder ve bu aralıkların olasılıkları f(x) altında kalan alandır. Son olarak kesiklilerde toplam sembolü süreklilerde de integral kullanırız.

 

 KOŞULLU OLASILIK

A ve B gibi iki olaydan B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayının şartlı olasılığı denir.
Koşullu olasılık P(A/B) simgesi ile gösterilir. B olayı verilirken A olayının olasılığı olarak okunur. Başka bir deyişle B olayı gerçekleştikten sonra, A olayının gerçekleşme olasılığıdır.

 

Örnek
Hamburgerci zincirinin müşterilerinden %75 hardal %80 i ketçap %65 i ise her ikisini birden kullanıyorsa, bir ketçap kullanıcısının hardal kullanma olasılığını bulunuz.

Çözüm:

A olayı: Müşteri hardal kullanıyor
B olayı: Müşteri ketçap kullanıyor olsun
P(A) =0.75, P(B) =0.80 P(A∩B)=0.65
Bir ketçap kullanıcısının hardal kullanma olasılığı:

 

 TOPLAM OLASILIK VE BAYES TEOREMİ

Koşullu olasılığın istatistikte çok geniş bir uygulaması vardır. Bu kavrama bağlı olarak geliştirilen toplam olasılık ve bayes teoremi özellikle karar alma konularında önem kazanır. Bir B olayının olasılığı doğrudan hesaplanamadığı zaman bu iki kavrama dayanılarak B olayının olasılığı bulunabilir.

  olmak üzere S örneklem uzayında tanımlanmış olsun.

Her hangi bir B olayı için,
 olur. Bu formüle aynı zamanda toplam olasılık formülü de denir.

 

Örnek
Bir fabrikada üretilen malların %50 si A1 makinesinde, %30’u A2 makinesinde ve %20’si de A3 makinesinde üretilmektedir. Bu makinelerin ürettikleri malların sırası ile %3, %4 ve %5’inin arızalı olduğu gözlemlenmiştir. Üretilen mallardan rassal olarak alınan bir tanesinin arızalı olma olasılığı nedir?

Çözüm
B fabrikada üretilen bozuk olma olayını göstersin. O zaman

= P(B/A1 ).P(A1 ) + P(B/A2 ).P(A2 ) + P(B/A3 ).P(A3 )
=(0,50).(0,03) + (0,30).(0,04) + (0,20).(0,05) = 0,037
Bir başka ifade ile bu fabrikadan 1000 tane mal alınırsa, bunların 37 tanesi hatalı olacaktır.

 

Bayes Teoremi

ve her i≠j için olmak üzere olayları, i=1, 2,…,n için n tane olayın bir kümesi olsun. S örneklem uzayında tanımlanmış P(B) > 0 olmak üzere, herhangi bir B olayı için, 1 ≤ j ≤ n durumunda

olur.

Örnek
Yukarıdaki soruyu bir de bayes teoremine göre çözelim. Aranılan olasılık P(A3 / B) dir.
Payda kısmını yani üretilen mallardan rassal olarak alınan bir tanesinin arızalı olma olasılığı 0,37. Pay kısmı da istenilen durumu belitir.

 

BAĞIMSIZLIK

Bazı olayların gerçekleşme durumu onlardan önceki olaylara bağlı değildir. Yani,
P(A/B) = P(A)
P(B/A) = P(B)
olabilmektedir. Bu durumu gerçekleştiren olaylara bağımsız olaylar adı verilir. Örneğin bir zar ve bir madeni para atıldığında zarın çift ve paranın yazı gelmesi bağımsız olaylardır.

P(A∩B) = P(A).P(B) ise A ve B gibi iki olayın bağımsız olduğu söylenir.

 

Örnek
Bir fabrikada otomatik olarak çalışan A ve B dizgi makineleri, bir teknisyen tarafından kontrol edilmekte ve ancak arıza olduğunda müdahale edilmektedir. 8 saat boyunca makinelerin müdahale istememe olasılıkları sırası ile şöyledir: 0,90 ve 0,95. Bu iki dizgi makinesinden hiç birinin 8 saat boyunca arıza yapmama olasılığı nedir?

çözüm:

Dizgi makineleri bağımsız çalıştıkları için
P(A∩B) = P(A).P(B) dir.
=(0,90).(0,95) = 0,8550
A, B ve C gibi üç olayın tam bağımsız olması için aşağıdaki eşitliklerin sağlanması gerekir.
a) P(A∩B) = P(A).P(B)
b) P(A∩C) = P(A).P(C)
c) P(B∩C) = P(B).P(C)
d) P(A∩B∩C) = P(A).P(B).P(C)

 

Örnek
Bir paranın üç kez atıldığını varsayalım. T1 ilk atışta tura, Y ikinci atışta yazı ve T2 de üçüncü atışta tura gelme olayları göstersin. T1, T2 ve Y olayları tam bağımsız mıdır?

Çözüm:
T1, T2 ve Y olaylarının olasılıkları birbirine eşittir.

Son olarak,

olduğundan T1, Y, T2 olayları tam bağımsızdır.

Bir önceki yazımıza buradan ulaşabilirsiniz. Bir sonraki yazımızda görüşmek üzere, hoşça kalın.

Post Author: Esma Yüksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir